Chiều thứ tư của không gian?

---

Nhiều nhà vũ trụ học cảm nhận rằng không gian vật lí (3 chiều) mà chúng ta đang sống bị uốn cong vào chiều thứ tư. Chiều thứ tư này là gì?  Đối với toán học, câu trả lời khá đơn giản: đó là chiều thứ tư của không gian R4 [thật ra với trí tưởng tượng bay bổng trong toán học chúng ta có thể xây dựng không gian có số chiều n tuỳ ý, thậm chí có thể mở rộng ra vô hạn chiều, ví dụ với đường thẳng thực 1 chiều R, ta có thể mở rộng ra mặt phẳng thực 2 chiều R², không gian thực 3 chiều R³, không gian thực n chiều Rn, …, và không gian vô hạn chiều R∞ ].  Tuy nhiên, đối với không gian vật lí mà chúng ta đang sống sẽ không có một câu trả lời đơn giản và dễ hình dung cho mọi người .  Không ai chỉ ra đuợc chiều thứ tư này, tuy nhiên nó thật sự vẫn ở đâu đó với chúng ta.  Có người cho rằng Thời gian là chiều thứ tư. Điều này không sai, tuy nhiên thời gian không phải là một “chiều khác biệt” mà chúng ta đang nói đến.  Nếu coi thời gian là một chiều thì chúng ta sẽ nói rằng chúng ta đang sống trong không-thời- gian 4 chiều và không-thời-gian này sẽ cong vào chiều thứ năm.  Thế thì chiều này ở đâu? Trước hết cần nhớ rằng chúng ta đang sống trong không gian vật lí 3 chiều.  Làm sao chúng ta biết được điều này? – Chúng ta có thể di chuyển tuỳ ý theo 3 hướng: (i) Trái / Phải  (ii) Sau / Trước (iii) Trên / Dưới.

Để ý rằng các chiều này vuông góc lẫn nhau.  Điều này có nghĩa là mỗi chiều là độc lập và không gộp lấy các chỉều còn lại,  tức là một khi bạn đi thẳng tới trước hoặc đi lui lại phía sau, xa gần theo như bạn muốn, thì bạn sẽ không lệch sang phải hay sang trái và cũng không lên cao hoặc xuống thấp hơn.  Vì thế chiều thứ tư sẽ là một chiều mới vuông góc với cả 3 chiều mà chúng ta có thể di chuyển tuỳ ý trong đó.

Khi xem xét tới chiều thứ tư, dùng hình ảnh minh hoạ cách mà chiều được tăng thêm thường ta giúp nhận thức dễ dàng hơn.  Xét sơ đồ bên dưới.  Để ý rằng 0-chiều được biểu diễn bằng một điểm, 1-chiều bằng một đoạn thẳng, 2-chiều bằng một hình vuông.  Khi chúng ta cố biểu diễn 3 chiều trên một khung phẳng, như màn hình MTĐT, chúng ta vẽ 2 hình vuông lệch nhau rồi nối các đỉnh tương ứng của chúng lại với nhau.  Điều đó thực ra chỉ một minh hoạ của hình lập phương chứ chẳng phải là một hình lập phương thật sự.  Vì thế khi muốn vẽ một hình lập phương 4 chiều, chúng ta có thể vẽ 2 hình lập phương (3 chiều) lệch nhau rồi nối các đỉnh tương ứng lại với nhau.  Một hình như vậy gọi là một siêu lập phương.  Lưu ý rằng cố biểu diễn một siêu lập phương 4 chiều trên một khung phẳng 2 chiều thì không có ích lợi gì nhiều. Tuy nhiên ít ra nó cũng giúp ta hình dung được phần nào việc tiến triển của không gian khi các chiều tăng lên.  Nếu ta chỉ muốn làm các tính toán đơn giản thì việc hình dung ra các vật thể 4 chiều không quan trọng mấy.  Chẳng hạn, trong không gian 3 chiều, thể tích hình cầu là 4πr³/3, thì thể tích của siêu cầu sẽ là π²p4 /2.

Tìm cách hình dung chiều thứ tư

Do khó có thể hình dung được trực tiếp chiều thứ tư nên việc dùng tương tự hoá có lẻ sẽ giúp ta ít nhiều. Năm 1884, Edwin Abbot, một thầy giáo người Anh có viết một quyển sách tên là ‘Xứ Phẳng’ (Flatland).  Quyển sách nói về một Hinh Vuông và thế giới của nó.  Như bạn có thể dự đoán, Xứ Phẳng là một mặt phẳng hai chiều và Hình Vuông là một anh chàng có dạng một hình vuông sống trong đó. Anh ta có thể đi tới / lui, phải / trái, tuy nhiên do anh ta bị giới hạn trong mặt phẳng 2 chiều của Xứ Phẳng nên anh ta không thể đi lên /xuống ra khỏi mặt phẳng.  Tương tự như vậy, loài người chúng ta bị giới hạn bởi không gian mà chúng ta tồn tại và do đó chúng ta không thể di chuyển một cách tuỳ ý  trong chiều thứ tư. Hãy trở lại với anh chàng Hình Vuông.  Để ý rằng anh chàng Hình Vuông chỉ thấy được những gì nằm trong mặt phẳng mà anh ta đang sống,  điều này có nghĩa là nếu có một mặt cầu di chuyển xuyên qua Xứ Phẳng, anh chàng Hình Vuông không nhìn thấy mặt cầu, mà chỉ thấy được các ‘vết cắt’ 2 chiều.  Đi sâu hơn một chút, hãy tưởng tượng nếu mặt cầu di chuyển nửa chừng xuyên qua Xứ Phẳng và dừng lại, phần giao của mặt cầu và Xứ Phẳng sẽ là một đường tròn và anh chàng Hình Vuông có thể thấy được hình tròn này.  Hơn nữa, hãy tưởng tượng nếu mặt cầu tiến gần Xứ Phẳng và anh chàng Hình Vuông đứng ngắm khi mặt cầu từ từ xuyên qua mặt phẳng của anh ta.   Hình Vuông sẽ thấy điều gì? Hãy nhớ lại rằng Hình Vuông chỉ nhìn thấy được các ‘vết cắt’ 2 chiều của mặt cầu (các đuờng tròn) cho nên cái mà Hình Vuông cảm nhận được là một điểm đột nhiên xuất hiện, rồi bung ra thành một đường tròn, lớn dần  cho tới khi đạt kích thước tối đa sau đó nhỏ dần lại thành một điểm rồi biến mất.  Điều này có nghĩa là một vật thể 3 chiều có thể biểu thị được thành một vật thể 2 chiều dưới dạng một chùm ‘các vết cắt chồng chất lên nhau’.  Hãy tưởng tượng lấy một chùm các đường tròn rồi chồng chúng lên nhau, chúng sẽ hình thành cái sườn của một hình ảnh 3 chiều thật sự. Tương tự nếu một siêu mặt cầu 4 chiều đi xuyên qua  không gian mà ta đang tồn tại, chúng ta sẽ thấy một mặt cầu 3 chiều không biết từ đâu đột nhiên xuất hiện, mặt cầu này sẽ lớn dần cho đến khi siêu mặt cầu đi xuyên được nửa đường, sau đó mặt cầu này co lại rồi biến đi.  Trên lí thuyết, chúng ta có thể chồng các mặt cầu này để làm thành một siêu mặt cầu, nhưng chúng ta không thể chồng chúng theo nghĩa thông thường mà phải mở rộng việc chồng vào chiều thứ tư, và như vậy ta quay ngược lại vấn đề bế tắc ban đầu là cố tím cách để hình dung chiều thứ tư này.

Cũng để ý rằng Xứ Phẳng cũng không nhất thiết phải phẳng mà có thể bị uốn cong trong không gian 3 chiếu như trong hình vẽ sau đây.  Dĩ nhiên, dưới mắt của chính những cư dân trong Xứ Phẳng ‘cong’ này họ vẫn không có vẻ bị cong bởi vì mọi thứ trong xứ này (kể luôn cơ thể của họ) đều bị uốn lượn theo “mặt phẳng” mà họ đang tồn tại.

Nếu chúng ta nhìn xuống một hình vuông trong mặt phẳng, chúng ta có thể thấy toàn bộ vật thể này chỉ qua một ánh mắt.  Chỉ cần tới một cái nhìn cho toàn cảnh (để thấy toàn bộ căn nhà của mình anh chàng Hình Vuông phải cần hơn một góc nhìn - vì nhìn từ phía trái anh ta sẽ không thấy được phía phải, nhìn thừ phiá trước không thấy phía sau...).  Hơn nữa, chúng ta có thể đặt một ngón tay vào bên trong hình vuông mà chẳng phải đụng tới các cạnh.  Điều này là một việc không làm được đối với anh chàng Hình Vuông, một cư dân của Xứ Phẳng.  Căn nhà của anh ta là một hình vuông lớn và anh ta không thể nào đặt ngón tay của mình vào giữa ngôi nhà mà không phải “đi vào” một cái cửa nào đó trên các cạnh.  Tương tự, một sinh vật 4 chiều có khả năng nhìn thấy toàn bộ một hình lập phương chỉ qua một ánh mắt.  Còn với một cái nhìn con người chỉ có thể thấy đuợc một phần của hình lập phương mà thôi. Cũng vậy họ có thể dễ dàng đặt một ngón tay vào bên trong một hình lập phương kín mà không phải xuyên thủng các mặt.  Điều ‘lạ lùng’ khác nữa  liên quan các ảnh đối xứng (qua) gương, Hãy tưởng tượng anh chàng Hình Vuông lần nữa.  Nhưng lần này hãy bốc anh ta ra khỏi Xứ Phẳng, lật ngược lại rồi đặt trở lại mặt phẳng.  Anh ta bây giờ chính là ảnh đối xứng gương của chính anh ta lúc trước.  Thật khó mà tưỏng tượng con người sẽ như thế nào khi trở thành ảnh đối xứng gương của chính mình (vì cần phải nắm được phép quay 4 chiều mà chúng ta còn xa lạ).  

Cũng lưu ý thêm là 2 mặt phẳng trong không gian 4 chiều có thể chỉ gặp nhau ở một điểm thôi chứ không phải theo một đường thẳng như trong không gian 3 chiều: mặt phẳng trong không gian 4 chiều có thể xem là phần giao của 2 siêu phẳng (3 chiều) và để ý rằng phương trình siêu phẳng có dạng ax1+bx2+cx3+dx4 = k nên phần giao của 2 mặt phẳng (phương trình mặt phằng là hệ 2 phương trình siêu phẳng) có thể xác định bằng các giải hệ 4 phương trình tuyến tính 4 nghiệm, hệ này có khả năng chỉ có 1 nghiệm (x1, x2, x3,x4), tức là 1 điểm mà thôi.  Điều lí thú là không một ai trong chúng ta có thể hình dung ra điều này nhưng theo kết quả tính toán thì sự việc lại quá rõ ràng.

Tóm lại, tốt nhất là dùng tương tự hoá để nghĩ tới chiều thứ tư.  Xem chiều thứ ba là một ‘chiều mới’ đối với anh chàng Hình Vuông, chúng ta cũng thế, có thể hiểu chiều thứ tư là một loại chiều mới đối với chúng ta.  Khi nói rằng chúng ta không nắm bắt được chiều này một cách tùy nghi, điều đó không có nghĩa là chúng ta không hề bị nó tác động tới.

Hình học phi Euclid và vũ trụ học

Hiện nay các nhà toán học vẫn chưa biết chắc loại hình học nào sẽ mô tả tốt nhất toàn bộ vũ trụ.  Hình học Euclid cung cấp cho chúng ta một trình bày tuyệt hảo đối với phần vũ trụ mà chúng ta đang sống, như các định luật vật lí của Newton, nhưng nó sẽ thất bại khi đặt trong các quy mô to lớn hơn.  Hầu hết các nhà nghiên cứu vũ trụ đều tin rằng biết đúng loại hình học nào áp dụng cho vũ trụ là rất quan trọng. Họ cho rằng tương lai của vũ trụ chúng ta  bị quy định bởi chính loại hình học của nó.  Theo các lí thuyết hiện đại trong lĩnh vực vũ trụ học, nếu hình học là hyperbolic thì vũ trụ sẽ dãn nở ra mãi mãi; nếu là Euclid thì vũ trụ sẽ dãn nở ra mãi mãi với tốc độ vượt thoát (escape velocity); còn nếu là elliptic thì sự dãn nở sẽ đi tới một điểm dừng và sau đó vũ trụ sẽ bắt đầu co lại và có thể sẽ nổ bùng ra lần nữa.

Cũng lưu ý rằng thuyết tương đối rộng của Einstein đặt cơ sở trên thuyết về không gian cong.  Nguyên nhân của tính cong này được giải thích từ chính lí thuyết này.  Theo thuyết tương đối rộng, ta có thể nói rằng:

1. Vật chất và năng lượng làm biến dạng không gian
2. Sự biến dạng của không gian ảnh hưởng tới chuyển động của vật chất và năng lương.

Nếu điều này đúng thì hình học của vũ trụ chúng ta sẽ chính là hình học hyperbolic.

Theo các nhà vũ trụ học, không gian mà chúng ta đang tồn tại cong vào chiều thứ tư theo 3 cấp độ:  cong cấp độ nhỏ tạo bởi các hạt trong cấu trúc nguyên tử, cong cấp độ vừa liên kết với sự hấp đẫn của các vì sao, lỗ đen và các thiên hà, và cong cấp độ lớn là hình dáng tổng thể của toàn bộ không gian và là kết quả tổng hợp của tất cà vật chất và năng lượng trong không gian.

Khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời là quá nhỏ để cho các dụng cụ nhạy bén có thể đo lường sự khác biệt giữa Hình học Euclid và Hình học Hyperbolic tạo bởi sự bẻ cong ở cấp độ lớn.  Tuy nhiên, Măt trời tạo ra một sự bẻ cong nào đó ở cấp độ vừa đối với sao Thủy mà chúng ta có thể  đo được.  Sao Thuỷ là hành tinh gần Mặt trời nhất.  Nó có một trường hấp dẫn mạnh hơn nhiều so với Trái đất, và do đó trong vùng lân cận không gian sẽ bị bẻ cong một cách khá đáng kể.  Sao Thuỷ cũng đủ gần để cho chúng ta có thể đo đạc chuyển động của nó với các kính viễn vọng.  Dùng Hình học Hyperbolic thay cho Hình học Euclid nguời ta sẽ dự đoán quỹ đạo của sao Thuỷ quanh Mặt trời chính xác thêm lên.


(viết theo một số tài liệu tham khảo)

Giới thiệu Hình học phi Euclid

---

Hình học đang được giảng dạy trong nhà trường phổ thông là Hình học Euclid. Hiểu biết thêm về hình học phi-Euclid, đặc biệt là những điểm "lạ lùng" "phản trực giác"... trong Hình học này sẽ giúp chúng ta nắm chắc hơn các khái niệm và các kết quả trong hình học Euclid. Trên tinh thần đó, xin giới thiệu ở đây một số điểm sơ lược về Hình học phi Euclid.

Theo cách nhìn hiện đại, Hình học Euclid được xây dựng dựa trên các khái niệm cơ bản [điểm, đường thẳng, mặt phẳng] và các quan hệ cơ bản [nằm trên (trong), nằm gìữa, toàn đẳng (bằng nhau)] và 5 tiên đề:

1. Tồn tại một đuờng thẳng đi qua 2 điểm P và Q không trùng nhau.

2. Một đoạn thẳng AB có thể nối ra vô hạn về 2 phía.

3. Với mỗi điểm O và với mỗi điểm A không trùng O tồn tại một đường tròn tâm O bán kính OA.

4. Tất cả góc vuông đều bằng nhau.

5. Cho một đuờng thẳng l và một điểm P không thuộc l, tồn tại duy nhất một đường thẳng m đi qua P và song song với l.

Loại Hình học phát triển chỉ dựa trên 4 tiên đề đầu gọi là Hình học Tuyệt đối.

Loại hình học phát triển dựa trên 4 tiên đề đầu và phủ định của tiên đề 5 là Hình học phi Euclid (non-Euclidean Geometry). Khi phủ định tiên đề 5 ta được:

 5'. Cho một đuờng thẳng l và một điểm P không thuộc l, không tồn tại đường thẳng m đi qua P và song song với l.

 hoặc:

 5". Cho một đuờng thẳng l và một điểm P không thuộc l, tồn tại ít nhất 2 đường thẳng m đi qua P và song song với l. 

Loại hình học phát trỉển dựa trên các tiên đề 1, 2, 3, 4 và 5' là hình học spherical / elliptic (Riemann).

Loại hình học phát trỉển dựa trên các tiên đề 1, 2, 3, 4 và 5" là hình học hyperbolic (Lobachevski – Bolyai - Gauss).

Còn Hình học Euclid là hình học parabolic).

I. Hình học cầu (Spherical) - Mô hình Riemann:

Xét mặt cầu Σ tâm O, bán kính là R. Trong mô hình Riemann, Σ được xem là mặt phẳng, điểm là tất cả những điểm Euclid trên Σ, đường thẳng là đường tròn lớn của Σ.

Với cách hiểu điểm, đường thẳng và mặt phẳng như trên, ta có thể dùng Hình học Euclid để kiểm chứng mô hình Riemann hoàn toàn thoả 4 tiên đề đầu. Đối với tiên đề 2, ‘nối ra vô hạn’ tức có thể quay vòng quanh mặt cầu vô hạn lần (không có gì trái với nội dung của tiên đề này, dĩ nhiên khái niệm “điểm nằm giữa 2 điểm khác” cần phải điều chỉnh).

Dễ thấy tiên đề 5 không còn đúng nữa: không tồn tại đường thẳng nào đi qua 1 điểm ngoài 1 đường thẳng cho sẵn và song song với đường thẳng đó (2 đường tròn lớn bao giờ cũng có 2 điểm chung – 2 mặt phẳng chứa 2 đuờng tròn lớn có điểm chung là tâm của mặt cầu).

Khoảng cách d(A,B) giữa 2 điểm A và B là độ dài cung tròn AB trên đường tròn lớn:

d(A,B) = R.α (α là số đo góc AOB tính bằng radian).

Dù với định nghĩa khoảng cách mới, đuờng tròn Riemann cũng vẫn là đường tròn Euclid.

Góc của 2 đường thẳng là góc của 2 đường tròn lớn [góc của 2 tiếp tuyến tại giao điểm (= góc phẳng của nhị diện tạo bởi 2 mặt phẳng chứa 2 đường tròn lớn)]

Trong mô hình này đa giác có số cạnh nhỏ nhất không phải là tam giác mà là nhị giác (biangle) hay (vỏ) múi cầu, còn tổng 3 góc trong tam giác ABC lớn hơn 180°.

Gọi α, β và γ là số đo (tính bằn radian) của các góc trong tam giác ABC ta có 

α + β + γ = π + dt(ΔABC)/R² (định lí Gerard)

Ví dụ: tam giác ABC trong hình sau (AB là kinh tuyến 0°, AC là kinh tuyến 90° và BC là xích đạo) có tổng số 3 góc bằng 270º

Từ công thức Gerard dễ thấy khi tam giác ABC có kích thước vừa phải và bán kính mặt cầu R thật lớn thì tổng 3 góc của tam giác rất gần 180°.

II. Hình học Hyperbolic:

0. Mô hình Đĩa Poincaré đơn giản:

Xét đuờng tròn C trong mặt phẳng Euclid, không mất tính tổng quát có thể chọn bán kính bằng 1. Gọi Ω là đĩa tròn mở xác định bởi C (không chứa các điềm trên đường tròn biên C). Trong mô hình Poincaré, Ω được coi là mặt phẳng, còn điểm là tất cả những điểm Euclid trong Ω. Đường thẳng là các dây cung (không kể 2 đầu mút) của đường tròn C.

Với cách hiểu điểm, đường thẳng, mặt phẳng như trên, dễ thấy tiên đề 5 không còn thoà mãn. Xem hình vẽ dưới đây:

Trong hình vẽ này, tất cả các đuờng thẳng m nằm trong góc tạo bởi m1 và m2 (kể cả m1 và m2) đều song song với l. Có người đề nghị nói là m1 song song phía phải với l, m2 song song phía trái với l. L và R có thể xem như các điểm ở vô tận [nếu hiểu 2 đường thẳng song song nhau là 2 đường thẳng gặp nhau ở vô tận (∞)].

Dĩ nhiên, đây chỉ là một mô hình đơn giản nhằm cho thấy tiên đề 5 không phải bao giờ cũng "hiển nhiên", nên nếu không có những điều chỉnh thích hợp về định nghĩa  khoảng cách thì tiên đề 3 (về đường tròn) chưa được thoả trong mô hình này.

1. Mô hình Đĩa Poincaré:

Xét đuờng tròn C trong mặt phẳng Euclid, không mất tính tổng quát có thể chọn bán kính bằng 1. Gọi Ω là đĩa tròn mở xác định bởi C (không chứa các điểm trên đường tròn biên C). Trong mô hình Poincaré, Ω được coi là mặt phẳng, còn điểm là tất cả những điểm Euclid trong Ω.

Đường thẳng là phần trong Ω của

(i) một đường kính của C, hoặc

(ii) một đường tròn vuông góc (trực giao) với C (2 tiếp tuyến tại mỗi giao điểm của C và đường tròn đó vuông góc nhau).

Với cách hiểu điểm đường thẳng và mặt phẳng như thế ta có thể kiểm chứng bằng Hình học Euclid rằng tiên đề “ tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt” vẫn còn thoả mản [có thể chứng minh điều này khá dễ dàng bằng Hình học Giải tích (toạ độ)].

Tiên đề “mỗi đoạn thẳng có thể kéo ra một cách vô hạn về cả 2 phía” cũng thoả mãn do Ω là một đĩa mở (lưu ý là [i]khi nói tới một đường vô hạn ta thường nghĩ rằng nó có thể ‘kéo dài ra’ mãi mãi, thật ra phải hiểu đường vô hạn là đường ‘không có điểm mút’. ‘Vô hạn’ và ‘không có điểm mút’ không có cùng một nghĩa )…

Định nghĩa về 2 đường thẳng song song hoàn toàn tương tự như cũ (không có điểm chung). Tuy nhiên, có thể kiểm chứng được rằng tiên đề song song không còn thoả mãn nữa và các định lí mà chứng minh phải sử dụng tiên đề này cũng không còn đúng nữa (chẳng hạn 2 đường thẳng cùng song song đường thẳng thứ ba thì chưa hẳn song song nhau…). Tiên đề song song phải chỉnh lại thành: Qua một điểm M không nằm trên đường thẳng a tồn tại ít nhất hai đường thẳng song song với a.

Ta cũng thể chứng minh tồn tại vô số đường thẳng song song với l chứ không phải chỉ có 2 đường như trong tiên đề, xem minh hoạ duới đây:

Trong hình vẽ trên, tất cả các đưòng thẳng m qua M nằm trong góc xác định bởi m1 và m2 (kể cà m1 và m2) đều song song với a.

Cho 2 điểm A và B trong mặt phẳng Ω, hai đỉểm này xác định duy nhất một đường thẳng (phần đường kính hoặc cung tròn trong Ω) và đường thẳng này sẽ ‘tiếp cận’ C tại 2 điểm P và Q .

Khoảng cách d(A,B) giữa 2 đìểm AB này được định nghĩa như sau:

        d(A,B) =| ln(AP:AQ/BP:BQ)|

với AP, AQ, BP và BQ là các khoảng cách theo nghĩa trong Hình học Euclid, và ln là logarithm tự nhiên.

[Có thể kiểm chứng định nghĩa trên không phụ thuộc việc gọi tên 2 điểm P và Q, và cũng thoả mản các yêu cầu của định nghĩa về khoảng cách: d(A,A) = 0, d(A,B) = d(B,A) và d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C)]

Từ định nghĩa khoảng cách này ta có thể định nghĩa đuờng tròn hoàn toàn tương tự như trong định nghĩa trong Hình học Euclid.

Số đo góc của 2 đuờng thẳng trong hình học này là số đo góc của 2 đường cong (góc tạo bởi 2 tiếp tuyến của 2 đuờng cong tại điểm chung) hoặc của đuờng thẳng với đuờng cong theo Hình học Euclid (góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong tại điểm chung với đường thẳng)

Tam giác cũng định nghĩa tương tự như cũ. Tuy nhiên ở đây, tổng của 3 góc trong tam giác không quá 180°

2. Mô hình nửa mặt phẳng trên:

Cho một đường thẳng XY trong mặt phẳng Euclid, không mất tính tổng quát có thể giả sử XY là một đuờng thẳng nằm ngang (trục hoành). Gọi Ψ là nửa mặt phẳng mở trên (không chứa các đìểm trên đường thẳng XY). Trong mô hình mới này Ψ được coi là mặt phẳng.

Điểm là tất cả những điểm Euclid trong Ψ.

Đường thẳng là phần nằm trong Ψ của

(i) bất kì đường tròn có tâm trên XY, hoặc

(ii) bất kì đường thẳng vuông góc với XY.

Cho 2 điểm A và B trong mặt phẳng Ψ, tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua A và B

(ii) nếu đường thẳng AB vuông góc với XY, gọi giao điểm của chúng là P;

(iii) nếu đường thẳng này là nửa đường tròn mở, gọi giao điểm của đường tròn tương ứng và XY là P và Q.

Khoảng cách d(A,B) của 2 điểm A và B được định nghĩa như sau:

• d(A,B) = |ln(PA/PB)| cho trường hợp (i) hoặc

• d(A,B) = |ln(PA:QA/PB:QB)|  cho trường hợp (ii)

Đường tròn và số đo của góc định nghĩa tương tự như trong mô hình Poincaré.

Mọi kết quả tìm đươc trong mô hình Poincaré cũng đúng cho mô hình nửa mặt phẳng trên này.

Thật ra mô hình này là một trường hợp đặc biệt của mô hình Poincaré (xem đường thẳng XY như là đường tròn có tâm ở vô tận).